Tanım

Korelasyon Analizinde, bir anakütleden seçilmiş en az iki veya daha fazla örnek grup alınarak, bu gruplar arasındaki etkileşime bir katsayı yardımıyla bakılır. Bu katsayı korelasyon katsayısıdır ve r ile gösterilir.
Korelasyon analizinin yapılacağı gruplar (bunlara değişken de diyebiliriz) arasında etkileşime bakılırken, regresyon analizinde olduğu gibi bağımlı değişken veya bağımsız değişken olma şartı aranmaz. Korelasyonuna bakılacak olan değişken gruplar ikiden fazla olsalar dahi ikili olarak ele alınırlar ve bu ikili değişkenlerin etkileşimi, katsayı yardımıyla yön ve kuvvet olarak tayin edilirler.

İnceleme

Korelasyon katsayısı, değişkenlerin yönü, etkileşimlerin nasıl olduğu hakkında bilgi verir. Değişkenlerin birbiri arasındaki etkileşim var mı, varsa etkileşimin çok fazla mı yani kuvvetli mi olduğu ve gözlem gruplarından birinin gözlem değerleri artarken diğerinin azalıyor mu yoksa aynı yönde mi değerleri değişiyor olduğu gözlenebilir.
Korelasyon katsayısı -1 ile +1 arasında değişen değerler alır. Katsayı, etkileşimin olmadığı durumda 0, tam ve kuvvetli bie etkileşim varsa 1, ters yönlü ve tam bir etkileşim varsa -1 değerini alır.
Korelasyon katsayısının yorumunu, tam değerler dışında ara değerler için yapmak oldukça güçtür. Ara değerler için katsayı değerlendirirken, örnek gözlem sayısı (n) oldukça önemlidir. Çok fazla gözleme dayanan değerlendirmelerde 0.25'e kadar düşmüş bir korelasyon katsayısı bile anlamlı sayılabilmektedir. Fakat az sayıda, 10-15 gözleme dayanan değerlendirmelerde korelasyon katsayısının 0.71 üstünde olması beklenir. Anakütleye göre normal sayılacak kadar bir gözlem sayısı alınarak bakılmış gözlem grupları için genellikle, 0-0.49 arasında ise korelasyon zayıf, 0.5-0.74 arasında ise orta derecede, 0.75-1 arasında ise kuvvetli ilişki vardır denilmektedir.
Regresyon modelinde değişken katsayılarını kullanarak model ve değişkenler hakkında oldukça yararlı bilgiler edinmiştik. Korelasyon katsayısı basit olarak -1 ile 1 değerleri arasında değişen ve bağımsız değişkenler hakkında kısaca bilgi veren bir değerden oluşmaktadır. Regresyon analizinde olduğu gibi basit ve çoklu modellerde hesaplanışı aşağıda anlatılmıştır.
Borsada işlem gören bir hisse senedinin belli bir dönemdeki günlük getirisini (X) ile içinde yer aldığı bir endeksin günlük getirisi (Y) alınırsa, aralarındaki ilişki Korelasyon katsayısı ile incelenir.

Korelasyon katsayısının hesaplanışı

Belirli sayıda gözlem değerinden oluşan oluşan iki grup için hesaplanışı:

X ve Y diye adlandırabileceğimiz n adet gözlem değerine ait, iki değişken grup varsa, (iki grup aralarında neden sonuç ilişkisi olan gruplar da olabilir) bu gruplar arasındaki korelasyona, aşağıda verilen formül dahilinde, açıklamalarda belirtilmiş işlemler yapılarak bakılmaktadır.

1.	X ve Y, n adet gözlemden oluşan iki değişken gözlem dizidir.
2.	olarak, olarak ifade edilirler. Tüm gözlem değerleri ortalamadan çıkarılarak x ve y dizileri oluşturulur.
3.	x ile y dizisinin değerleri teker teker çarpılır. Toplamları bulunur.
4.	x dizisinin ve y dizisinin ayrı ayrı kareleri alınır. Toplamları bulunur.
5.	x ile y dizisin çarpılarak toplamları alınmış değer, x dizisinin karesi alınarak toplamı bulunmuş değer ile y dizisinin çarpılarak toplamları alınmış değere bölünür.

Belirli sayıda gözlem değerinden oluşan ikiden fazla grup için hesaplanışı:

Y, X₁, X₂, X₃, ... diye adlandırabileceğimiz n adet gözlem değerine ait, ikiden fazla değişken grup varsa (aralarında neden sonuç ilişkisi olan gruplar da olabilir), bu gruplar arasındaki korelasyona, aşağıda verilen formüller dahilinde, açıklamalarda belirtilmiş işlemler yapılarak ikili ilişkiler şeklinde bakılmaktadır.
Aşağıda formülleri verilmiş ve aralarında korelasyon ilişkisi aranan değişken diziler, Y, X₁, X₂, X₃'dür.
Y ile X₂ arasındaki korelasyon katsayısı;
ile hesaplanır.
Y ile X₃ arasındaki korelasyon katsayısı;
ile hesaplanır.
X₂ ile X₃ arasındaki korelasyon katsayısı;
ile hesaplanır.
X₃ ile X₂ arasındaki korelasyon katsayısı;
ile hesaplanır.

1.	Y, X2, X3; n adet gözlemden oluşan üç değişken gözlem dizidir.
2.	olarak ifade edilirler. Tüm gözlem değerleri ortalamadan çıkarılarak x'ler ve y dizileri oluşturulur.
3.	İki değişkenli diziler için gerçekleştirilen işlemler,üç değişkenli diziler için de yukarıdaki formüllerde yazan değerler için gerçekleştirilir.

Hesaplanacak korelasyon katsayısın yorumu, yine n sayısı dikkate alınarak yapılmaktadır.

Korelasyon Katsayısı r'nin anlamlılığının testi:

Elimizde bulunan iki dizideki gözlem değerlerinin bir anakütleden gelen n sayıdaki gözlem değerleri olduğunu düşünürsek, anakütle ile ilgili bir teorik korelasyon katsayısı (r) vardır ve örnek korelasyon katsayısı r ile tahmin edilmeye çalışılmaktadır denilebilmektedir.
Hipotezimiz;


Korelasyon Katsayısının anlamlılığı t testi kullanılarak, n-2 serbestlik derecesine göre aşağıdaki işlemler dahilinde a = 0,05 ve a = 0,01 için test edilmektedir;
t hesap değeri bulunur.
a = 0,05 için; H₀  reddedilecek ve H₁ kabul edilecektir. Yani r istatistiksel olarak anlamlıdır ve değişken diziler arasında bir ilişki vardır denilebilir.
Not:  t tablosundaki n-2 serbestlik derecesinde (tabloya bakmada kullanılan değer) bakılacak değerdir.
a = 0,01 için yapıldığında yine yukarıdaki yorum yani   H₀ reddedilecektir ve H₁ kabul edilerek istatistiksel olarak anlamlıdır yorumu geçerli olacaktır.

Sonuç:

Korelasyon Analizi, gözlem değerlerinin birbirleri ile olan etkileşimlerini göstermekte olup, anakütleden çekilecek örnek gözlemlerin sayısı yeterli olduğunda anlamlı sonuçlar verebilmektedir. Yetersiz olan gözlem değerleri için gözlem değeri arttırılarak yapılan korelasyon katsayısı hesaplanmasında, anlamlı sonuç almak mümkün olabilmektedir.
Korelasyon katsayısının anlamlılığına, test ederek bakıldığında daha güvenilir sonuç elde edilmiş olunur.

Örnekler

Örnek 1

Hesaplanışı

Yorum

İki değişken diziden oluşan değerler olan n=30 değerli dizilerdeki korelasyon katsayısı hesaplanmıştır. Bu örnekte İMKB Ulusal 100 endeksinin % değişim değerleri ile aylık faiz oranlarının % değişimi arasındaki korelasyon hesaplanmıştır. 1986 yıllarından beri işlem gören bir piyasa için değişkenler için aldığımız örnek sayısının düşük olması yorumda yanıltıcı olabilmektedir. Fakat bu örnekte değişkenlerin birbirinden negatif etkilendiklerini yani İMKB Ulusal 100 endeksi artarken, faiz oranlarının düştüğünü açıkça görebilmekteyiz fakat aralarında zayıf bir ilişki olduğunu örnekleme sayısını arttırmadan söyleyemeyiz.

Örnek 2

Yorum

Excel'in hesapladığı korelasyon katsayısını gösteren bir örnek hazırlanmıştır.
Akbank hissesine ait ve işlem gördüğü günlerin bulunduğu, 44 gözlem değerinden oluşan birinci değişken dizi ile TCMB Alman Markı Efektif Satış kur cinsinden oluşan, aynı günlerdeki gözlem değerinden oluşan ikinci değişken dizi (değişkenlerin eşit sayıda gözlem değeri içermesi şarttır) yer almaktadır.
Bu iki değişken gözlem dizisi arasındaki, korelasyon katsayısının Excel'de hesaplanışı, yukarıdaki tabloda açıklanmaktadır.
Hesaplama sonucu elde edilen değeri yorumlarsak, değişkenler arasında korelasyon yani bağımlılık ilişkisi vardır diyemeyiz. Çünkü, ait oldukları anakütle içerisinde çok az sayıda örnekleme alınarak hesaplanmışlardır.

Hazırlayan: Nimet Karaca