Alfa ve Beta Katsayılarının Hesaplanması

Biri bağımsız () ve diğeri bağımlı () gibi iki değişken arasındaki ilişkinin doğrusal biçimini basit doğrusal regresyon denklemi ile inceleyebiliriz.

Bir doğrusal regresyon modeli, iki temel bileşenden oluşur:

Y= Deterministik bileşen + Rassal hata

Bu modele göre deterministik bileşenimiz; ve rassal hatamız olarak gösterilirse eşitliğimizin son hali şöyle olur:

Bu formülde:

= Menkul kıymetin getiri oranı

= Pazarın getiri oranı

= Alfa katsayısı, Regresyon doğrusunun y eksenini kestiği nokta

= Beta katsayısı, Regresyon doğrusunun eğimi

= Rassal hatadır.

Basit doğrusal regresyonda rassal hatanın beklenen değerini sıfır olarak kabul edebilir ve formülümüzü daha da basitleştirebiliriz. Ancak gerçekleşen getiri değerlerinin regresyon doğrusunun etrafına dağılması, rassal hatanın varlığı anlamına gelecektir. Sonuç olarak formülümüzün son şekli şöyle olacaktır:

Regresyon doğrusunu oluşturmak için grafiğin x eksenine belirli bir zaman aralığındaki pazarın getirileri ve y eksenine de aynı zaman aralığındaki hisse senedinin getirileri işaretlendiğinde oluşan noktalardan geçecek en uygun regresyon doğrusunu bulmak için veri noktalarının doğrusal regresyon denkleminden olan sapmalarının, yani gerçek değerleri ile doğru üzerinde yer alan teorik değerleri arasındaki farklar olan hataların kareleri toplamını minimize edecek olan doğruyu seçmemiz gerekir. Regresyon doğrusunun y eksenini kestiği nokta ? (alfa katsayısı) ‘yı ve eğimi de ß (beta katsayısı) ‘yı verecektir.

 

Grafik:

Beta katsayısının hesaplanması için, belirli bir zaman periodundaki hisse senedi ve endeks getirisi arasındaki kovaryansın, endeks getirisinin standart sapmasının karesine(varians) oranından faydalanılır.

Alfa katsayısının hesaplanması için de, şu eşitlikten faydalanılır:

Beta katsayısının hesaplanmasında belirlenecek hesaplama dönemi uzunluğu ve dolayısıyla hesaplanacak gözlem sayısı için kesin bir kural yoktur. ABD’de NYSE endeksinin son 5 yıldaki haftalık getirilerinden yararlanılmaktadır. Bazı hesaplamalarda ise birim getiriler yerine birkaç birimin ortalama getirisi kullanılarak filtre beta hesaplanıyor. Örneğin 100 haftalık bir aralıkta 5’er haftalık ortalama getirilerinden beta hesaplanabiliyor. Ülkemizde ise hesaplamalarda çeşitli hesaplama dönemleri ve gözlem sayılarından faydalanılmaktadır. Genellikle günlük getiriler üzerinden maksimum 100 günlük periodlar seçilmektedir.